微分中值定理证明（用微分中值定理证明方程x5 ＋x一1＝0只有一个正根速求解）

本文目录

• 用微分中值定理证明方程x5 ＋x一1＝0只有一个正根速求解
• 微分中值定理是什么
• 微积分中值定理证明
• 微积分中值定理的推导过程是怎样的
• 微分中值定理的证明口诀是什么
• 高等数学微分学--中值定理的证明问题
• 如何理解三大微分中值定理
• 一道关于高等数学微分中值定理的证明题目
• 中值定理的证明过程是如何得出的
• 如何用微分中值定理证明不等式

用微分中值定理证明方程x5 ＋x一1＝0只有一个正根速求解

具体回答如下：

令f(x)=x5+x-1

f’(x)=5x^4+1

当x∈[0,＋∞)时，f’(x)恒大于0，f(x)在[0,＋∞)单增

f(1/2)《0

f(1)》0

所以根据介值定理知f(x)在（1/2,1)中间只有一个正根

中值定理的应用：

无穷小（大）量阶的比较时，看到两个无穷小（大）量之比的极限可能存在，也可能不存在。如果存在，其极限值也不尽相同。

解决这种极限的问题通常要用到洛比达法则，这是法则的内容，而在计算时往往都是直接的应用结论，没有注意到定理本身的证明，而这个定理的证明也应用到了中值定理。

微分中值定理是什么

中值定理公式如下

1、罗尔定理

如果函数f(x)满足在闭区间［a,b]上连续；在开区间（a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b)内至少有一点ξ（a《ξ＜b)，使得f’(ξ）＝0。

2、柯西定理

如果函数f(x)及F(x)满足在闭区间［a,b]上连续；在开区间（a,b)内可导；（3)对任一x∈（a,b)，F’(x)≠0那么在（a,b)内至少有一点ξ，使等式［f(b)-f(a)]/=f’(ξ）／F’(ξ）成立。

3、拉格朗日定理

如果函数f(x)满足在闭区间［a,b]上连续；在开区间（a,b)内可导。那么在（a,b)内至少有一点ξ（a《ξ＜b)，使等式f(b)-f(a)=f′（ξ）（b-a)成立。

拓展知识

定义

函数与其导数是两个不同的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。

是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。

拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。

中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。从而能把握住函数图象的各种几何特征。在极值问题上也有重要的实际应用。

微积分中值定理证明

（1）设最大值为f(c)=g(d)=M

①若c=d，则取η=c即可，

②若c≠d，令h(x)=f(x)-g(x)

则h(c)》0，h(d)《0

根据零点定理，在c、d之间存在η

使h(η)=0

所以，f(η)=g(η)

（2）令h(x)=f(x)-g(x)

由于h(a)=h(η)=h(b)=0

根据罗尔定理

存在ζ1∈(a，η)，ζ2∈(η，b)，使得

h’(ζ1)=h’(ζ2)=0

再次根据罗尔定理

存在ζ∈(ζ1，ζ2)，使得

h’’(ζ)=0

即：f ’’(ζ)=g ’’(ζ).

微积分中值定理的推导过程是怎样的

估值定理的推导，可以直接用 f(x)-m的积分≥0来证明，M的情形类似。

中值定理可以由那个定积分除以(b-a)，由估值定理，这个值在m和M之间，根据连续函数的介值定理，f(x)中总有ξ使其函数值在最小、最大值之间，然后把 b-a乘过来就得到了。

定积分是阴影部分面积，自然是介于绿线下面部分和红线下面部分的面积；中值定理：这个面积等于某个介于最小、最大值之间的，蓝线下面的面积。

扩展资料：

如果是一元函数f(x)在区间上的最小值，M为最大值。

导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。

无穷小（大）量阶的比较时，看到两个无穷小（大）量之比的极限可能存在，也可能不存在。如果存在，其极限值也不尽相同。称两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限为型或型不定式极限。

微分中值定理的证明口诀是什么

二重积分中值定理公式如下图：

口诀是：后积先定限，限内画条线,先交写下限，后交写上限，二重积分换序口诀具体的应用：首先要作出积分的区域，再看先对哪个做出积分，如果先对x积分，则作一条平行于x轴的直线穿过积分区域，与积分区域的交点就是积分上下限。

应用：

若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

在一元函数微分学中，微分中值定理是应用函数的局部性质研究函数在区间上整体性质的重要工具，它在数学分析中占有重要的地位，其中拉格朗日中值定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。

高等数学微分学--中值定理的证明问题

对e^(-x)f(x)与e^(-x)分别在上使用拉格朗日中值定理。 证明过程：函数e^(-x)f(x)与e^(-x)在上连续，在(a,b)内可导，由拉格朗日中值定理，存在ξ,η∈(a,b)，使得e^(-b)-e^(-a)=-e^(-ξ)(b-a)。e^(-b)f(b)-e^(-a)f(a)=e^(-η)(f’(η)-f(η))(b-a)，即e^(-b)-e^(-a)=e^(-η)(f’(η)-f(η))(b-a)。两个式子相除得，e^(-η)(f’(η)-f(η))=-e^(-ξ)，此即f(η)-f’(η)=e^(η-ξ)。

如何理解三大微分中值定理

微分中值定理(即罗尔定理, 拉格朗日定理, 柯西定理, 泰勒定理)是数学分析上册最重要的内容之一, 想要学好中值定理, 首先要学习它们的证明方法, 需要强调的是拉格朗日中值定理与柯西中值定理均可由罗尔中值定理进行证明, 证明的方法为积分法, 这是构造辅助函数最基本的一种手段, 另外由此也可以看出罗尔中值定理的极端重要性.

1.罗尔中值定理的证明过程如下所示：

注意：罗尔中值定理是微分中值定理的基本，根据之后的积分法可知，拉格朗日中值定理和柯西中值定理是由罗尔中值定理证明的，也就是说，理论上，可以用拉格朗日中值定理或者柯西中值定理的题目，均可以由罗尔中值定理证明。

2.拉格朗日中值定理的证明过程如下所示：

3.柯西中值定理的证明过程如下所示：

经过以上三个微分中值定理的证明过程之后，我们会发现，在拉格朗日中值定理中如果f(a)=f(b),就是罗尔中值定理，在柯西微分中值定理中，如果g(x)=x,那么就成为了拉格朗日中值定理，我们就可以得出他们之间的关系为：拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一种特殊情况，同样，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情况。

这三大微分中值定理是研究函数的有力工具，微分中值定理反映了导数的局部性与函数的整体性之间的欢喜，应用十分广泛，我们只有对这三个微分中值定理做到真正的理解，才能在用导数判断函数单调性、凹凸性和求极值、求拐点的方法，描绘函数的图像等等，这些更深层次的问题中灵活运用。

一道关于高等数学微分中值定理的证明题目

分析：要证明存在一点，使得f’(x)＞1，即f’(x)-1＞0，而f’(x)-1是f(x)-x的导数，所以可以考虑对F(x)=f(x)-x使用中值定理，找到一个区间，只要F(b)-F(a)＞0即可。证明：令F(x)=f(x)-x，则F(x)在上连续，在(0,1)内可导，F(0)=0，F(1)=0。f(x)在上不恒等于x，所以存在一点η∈(0,1)，使得f(η)≠η，即F(η)≠0。若F(η)＞0，则在上使用拉格朗日中值定理，则存在一点ξ∈(0,η)，使得F’(ξ)=(F(η)-F(0))/η=F(η)/η＞0，所以f’(ξ)＞1。若F(η)＜0，则在上使用拉格朗日中值定理，则存在一点ξ∈(η,1)，使得F’(ξ)=(F(1)-F(η))/(1-η)=-F(η)/(1-η)＞0，所以f’(ξ)＞1。结论得证。

中值定理的证明过程是如何得出的

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。柯西（Cauchy）中值定理 柯西设函数f(x),g(x)满足⑴在闭区间上连续；⑵在开区间（a，b）内可导；⑶对任一x∈（a,b）有g’(x）≠0，则存在ξ∈（a,b），使得=f’（ξ）/g’（ξ）证明：作辅助函数 F(x)=f(x)-显然，F(a)=F(b)=由罗尔中值定理知：存在ξ∈（a,b），使得F’（ξ）=0.故F’（ξ）=f’（ξ）-命题得证。与拉氏定理的联系：在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。几何意义：若令u=f(x),v=g(x），这个形式可理解为参数方程，而则是连接参数曲线的端点斜率，f’（ξ）/g’（ξ）表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。应用判断函数的单调性：函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？我们知道若函数在某区间上单调增（或减），则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正（或负），也就是函数的导数在此区间上均取正值（或负值）.因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性.例1 设f(0)=0，f(x）在（0，+∞）上单调递增.证明：f(x)x在（0，+∞）上单调递增.证明由柯西中值定理，可以得出f(x)x=f(x)-f(0)x-0=f′（ξ）1=f′（ξ），0《；ξ《x，由此可知f(x)x′》0.这样就可以证明f(x)x在（0，+∞）上单调递增.不等式极限　　柯西中值定理的一个极其重要的应用就是可以用来计算未定型的极限.两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记00，∞∞，0/∞；0-∞，∞-∞和∞∞型不定式.仔细观察柯西中值定理表达式的形式，可以看到两个函数式的比值，在移动条件下可以化成两个函数的导数的比值，这样就有可能使得作为未定型的分式的分子与分母所表示的函数，我们将以微分中值定理为理论依据，通过求导，建立一个简便而有效的求非未定型极限的方法.我们得出下面这个定理：⑴两个函数f(x）和g(x）在开区间（a，b）可微，并且在这个开区间上，g(x）的导数不等于0；⑵存在极限limx→a+0f′（x)g′（x)=A，其中A为一个有限的常数.则在以下情况下：limx→a+0f(x)=0和limx→a+0g(x)=0或者limx→a+0g(x)=∞.那么就有：limx→a+0f(x)g(x)=limx→a+0f′（x)g′（x)=A.反过来在区间的另一个端点也存在相类似的结果.这个定理就称之为罗必达法则，能有效地应用于未定型的极限计算.罗必达法则可以运用于7种未定型的极限计算，而最为基本的未定型只有两种：00和∞∞.00和∞∞型的我们都知道，那么在此就不做介绍了.其他的未定型都可以化成这两种形式：①0；∞型.通过恒等式：f(x）·g(x)=f(x)1g(x），从而得到00或∞∞这两种基本形式.②∞-∞型.通过恒等式：f(x)-g(x)=1g(x)-1f(x)1f(x）×1g(x），从而得到00型.③00，∞0，1∞型.通过恒等式f(x)g(x)=elnf(x)g(x)=eg(x)lnf(x），从而得到00;0-∞，∞-∞，00，∞0，1∞型.再进一步化成00或∞∞这两种基本形式.对于两种基本形式的未定型，直接应用洛必达法则即可，即表示为limf(x)g(x)=limf′（x)g′（x)=A.显然这时的条件为f′（x），g′（x）都存在，并且g′（x）≠0.还有一个不是很明显，因此初学者常常犯错误的地方，就是要求f(x）和g(x）同时以0或者∞为极限.在实际做题时，一定要注意随时验证这三个条件，否则必定会犯错误..例2 证明：limx→0+x1-ex=-1.证明令t=x，当x→0+时有t→0+，则可以得到：limx→0+x1-ex=limx→0+t1-et=limx→0+1-et=-1.推导中值公式　　例3 设f(x）在开区间（a，b）内二次可微，证明：任意的x，x0∈（a，b），存在ξ∈（x，x0），使f(x)=f(x0)+f′（x0)(x-x0)+12f″（ξ）（x-x0)2成立（这就是泰勒公式一次展开式）.证明由题可知，只需证明x》x0这一种情况.令F(x)=f(x)-f(x0)-f′（x0)(x-x0），G(x)=12(x-x0)2.求导可得F′（x)=f′（x)-f′（x0），G′（x)=x-x0.因为F(x0)=G(x0)=0，F′（x0)=G′（x0)=0两次应用到柯西中值定理，可以得到：f(x)-f(x0)-f(x0)(x-x0)12(x-x0)2=F(x)G(x)=F(x)-F(x0)G(x)-G(x0)=F′（η）G′（η）=F′（η）-F′（x0)G′（η）-G′（x0)=F″（ξ）G″（ξ）=F″（ξ）.其中η∈（x，x0），ξ∈（x0，η），则f(x)=f(x0)+f′（x0)(x-x0)+12f″（ξ）（x-x0)2得到证明.故命题得证.研究函数的某些特性　　⑴证明中值点的存在性例4上连续，在（a，b）内可导，则?ξ∈（a，b），使得f(b)-f(a)=ξlnbaf′（ξ）.证明设g(x)=lnx，显然它在上与f一起满足柯西中值定理的条件，于是存在ξ∈（a，b），使得f(b)-f(a)lnb-lna=f′（ξ）1ξ，即存在ξ∈（a，b）使得f(b)-f(a)=ξf′（ξ）lnba.⑵证明恒等式例5 证明：arcsinx+arccosx=π2，x∈.证明令f(x)=arcsinx+arccosx，则f′（x)=11-x2-11-x2≡0，?x∈（0，1），由于f(x）在连续，所以f(x）≡f(0)=π2.

如何用微分中值定理证明不等式

要证明不等式（1+x）^n ≥ 1+nx，可以利用微分中值定理。首先，我们定义一个函数f(x) = (1+x)^n - (1 + nx)。我们需要证明的是f(x) ≥ 0对于所有x 》 -1 和 n ≥ 1成立。根据微分中值定理，如果函数f(x)在区间上连续，并且在区间(a, b)上可微分，那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得f’:copyright: = (f(b) - f(a))/(b - a)。我们选择一个合适的区间，使得f(a) = f(-1) = 0，f(b) ≥ 0。计算f’(x) = n(1+x)^(n-1) - n，由于(1+x)^(n-1) ≥ 1，因为x 》 -1且n ≥ 1。所以f’(x) = n(1+x)^(n-1) - n ≥ 0，即f’(x) ≥ 0，说明f(x)在区间(a, b)上单调递增。根据微分中值定理，存在一个点c，使得f’:copyright: = (f(b) - f(a))/(b - a)。由于f’(x) ≥ 0，所以(f(b) - f(a))/(b - a) ≥ 0，也就是f(b) - f(a) ≥ 0。因为f(a) = 0，所以f(b) ≥ 0。即对于x 》 -1和n ≥ 1，有f(x) ≥ 0。而f(x) = (1+x)^n - (1 + nx)，所以（1+x）^n ≥ 1+nx成立。证毕。因此，根据微分中值定理，可以证明当x 》 -1且n ≥ 1时，（1+x）^n ≥ 1+nx。