什么叫数学归纳法？数学归纳法步骤

本文目录

• 什么叫数学归纳法
• 数学归纳法步骤
• 数学归纳法几种常见方式
• 数学归纳法的原理
• 数学归纳法的基本步骤
• 什么是数学归纳法

什么叫数学归纳法

概述 数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。 本段 基本步骤 （一）第一数学归纳法： 一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤： （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 （二）第二数学归纳法： 对于某个与自然数有关的命题P(n）， （1）验证n=n0时P(n）成立； （2）假设n0≤n《=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 （三）倒推归纳法（反向归纳法）： （1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）； （2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立， 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立； （四）螺旋式归纳法 对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n）， （1）验证n=n0时P(n）成立； （2）假设P(k）（k》n0）成立，能推出Q(k）成立，假设 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立； 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。 本段 应用 （1）确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。 （2）数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。 （3）证明数列前n项和与通项公式的成立。 （4）证明和自然数有关的不等式。 本段 变体及应用 在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。 从0以外的数字开始 如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改： 第一步，证明当n=b时命题成立。第二步，证明如果n=m(m≥b）成立，那么可以推导出n=m+1也成立。 用这个方法可以证明诸如“当n≥3时，n2》2n”这一类命题。 针对偶数或奇数 如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改： 奇数方面： 第一步，证明当n=1时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。 偶数方面： 第一步，证明当n=0或2时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。 递降归纳法 数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,...,m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,...,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,...,m，原命题均成立。如果命题P(n）在n=1,2,3,......,t时成立，并且对于任意自然数k，由P(k),P(k+1）,P(k+2）,......,P(k+t-1）成立，其中t是一个常量，那么P(n）对于一切自然数都成立. 其它形式 如跳跃数学归纳法的定义 通常，跳跃数学归纳法的第二步总是由k推出,跨度为n 。但是并不是对于所有的问题都能解决. 本段 合理性 数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。比如，由下面的公理可以推出数学归纳法原理： 自然数集是良序的。 注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。 本段 历史 已知最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo（1575年）。Maurolico利用递推关系巧妙的证明出证明了前n个奇数的总和是n^2，由此揭开了数学归纳法之谜。 最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成： 递推的基础：证明当n=1时表达式成立。 递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立。 这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。 或许想成多米诺效应更容易理解一些，如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定： 第一张骨牌将要倒下，只要某一个骨牌倒了，与之相邻的下一个骨牌也要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。 这样就确定出一种递推关系，只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。 这样，无论有多少骨牌，只要保证（1）（2）成立，就会全都倒下。 解题要点： 数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中， 第一步为：验证n取第一个自然数时成立 第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。 最后一步总结表述

数学归纳法步骤

数学归纳法步骤1证明当n=1时命题成立2假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立m代表任意自然数步骤 1当n=1时，显然成立2假设当n=k时把式中n换成k，写出来成立，则。Sn=nn+12n+16解答过程如下an = n#178Sn = 1#178 + 2#178 + 3#178 + + n#178 = nn+12n+16 归纳法证明n = 1，1×1+1×2×1+16 = 66 = 1。n有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与 正整数 有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立本段基本步骤一第一数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤。注意到有些其他的公理确实的是数学归纳法原理中的二者择一的公式化更确切地说，两个都是等价的用数学归纳法进行证明的步骤1归纳奠基证明当取第一个值时命题成立证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠。数学归纳法就是一种证明方式通过过归纳，可以使杂乱无章的数学条理化，使大量的数学系统化归纳是在比较的基础上进行的通过比较，找出数学间的相同点和差异点，然后把具有相同点的数学归为同一类，把具有差异点的数学。数学归纳法的过程分为两部分1先证明n=1时命题成立，在实际操作中，把n=1代进去就行了，就像要你证明“当n+1时1+n=2成立”2假设n=k时命题成立，证明n=k+1时命题成立 你可以这样理解第一部分证明n=1。1当n=1时，显然成立2假设当n=k时把式中n换成k，写出来成立，则当n=k+1时，这步比较困难，化简步骤往往繁琐，考试时可以直接写结果该式也成立由12得，原命题对任意正整数均成立。证明若n是大于1的整数，则n可以写成素数之积 解设Pn是命题n可以写成素数之积基础步骤p2为真，因为2可以写成一个素数之积，即它自身归纳步骤假定对所有满足klt=n的正整数k来说Pk为真要完成。归纳法有两种常用定义一种定义为从个别前提得出一般结论的方法根据这个定义，它包括简单枚举归纳法完全归纳法科学归纳法穆勒五法赖特的消除归纳法逆推理方法和数学归纳法第二种定义为个别前提或然得出结论的方法。用数学归纳法进行证明的步骤1归纳奠基证明当 取第一个值 时命题成立证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再。由12得，把你猜想的式子写出来对任意正整数均成立 一般用于数列题 不能直接通过作差作商裂项等常规手法求解通项 先求出n=123有时需求更多值，以此总结规律猜想通式，而后用归纳法证明如果只猜想。数学归纳法一般步骤1 先证明n=1时的情况，很简单 2 设n=m时成立，将m代入原式得一个等式 3 将n=m+1代入原式左边，展开，化简，想办法往n=m的右边的形式靠，然后将n=m代入进去，再化简，最后得出n=m+1。3学归纳法是中学数学证明题中常用的思想方法之一，近年来，数学归纳法的灵活运用是高考考查的重点 4数学归纳法主要用于证明与正整数n有关的命题的正确性通常包括三个主要步骤一是找准起点，归纳奠基证明当n取第。它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限运用数学归纳法证明命题时，关键是n=k+1时命题成立的推证，此步骤要有目标意识，要与最终目标逐渐接近。使用数学归纳法一般是解决与数列有关的数学问题我可以举几个例子证明数列的递推式证明数列求和式证明某些数列不等式此外，数学归纳法体现了一种递归性，于是可以推广归纳原理，得到第二数学归纳法反向数学归纳法。后一个就成立和第一步骤一起，我们可依次得出第二项成立，再根据第二步骤，第三项也成立，依次类推，最后全部都成立学习数学归纳法时要注意体会理解这种思想，而不是死记硬背的套步骤。

数学归纳法几种常见方式

归纳、倒推归纳、螺旋式归纳法

数学归纳法常见方式

第一数学归纳法。确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。

第二倒推归纳法。证明数列前n项和与通项公式的成立。

第三螺旋式归纳法。证明和自然数有关的不等式。

数学归纳法的原理在于：首先证明在某个起点值(正整数或自然数)时命题成立，然后证明可以从任意一个值可以推导到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，可以通过反复使用这个方法验证所有的。这个方法可以用多米诺骨牌来类比。

例如：有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：

1、证明第一张骨牌会倒。

2、证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。

那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。

在高考中，一些与数学归纳法相关的题目往往会与数列结合起来考察，在求数列相关问题时，教师可引导学生采用数学归纳法先假设后证明，清晰地梳理出解题思路，从而求得正确答案。

例如，已知数列{an}，其中a2=6,（an+1+an-1）/(an+1-an+1)=n。

（1）求a1，a3，a4。

（2）求数列的通项公式。

对于第一小问，首先，将n=1，n=2，n=3分别代入上式中，

得(a2+a1-1)/(a2-a1+1)=1①；

（a3+a2-1）/(a3-a2+1)=2②；

(a4+a3-1)/（a4-a3+1）=3③；

将已知条件a2=6代入①②式，可求出a1=1，a3=15，再将求出的a3的值代入③式中，得a4=28，便解决了第一小问的问题。这类题目对于学生的思维和逻辑能力要求并不高，在解题过程中，学生们都不难算出答案。

对于第二小问，由于目前所知的条件为数列前四项的具体数值，且除了一个递推公式外无其他信息。此时，教师可引导学生去归纳总结已知信息的规律，通过前四项的结构特征猜想出数列通项，再用数学归纳法先假设后证明，最后得出答案。

关于这道题目，可以将数列的前四项分别写为a1=1*1，a2=2*3，a3=3*5，a4=4*7，观察其结构特征，可以发现前四项的值可以表示为一个正整数与一个奇数的乘积。即：a1=1*(2*1-1)，a2=2*(2*2-1)，a3=3*(2*3-1)，a4=4*(2*4-1)，由此可以推测an=n*(2n-1)。

数学归纳法的原理

数学归纳法的原理如下：

数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。数学归纳法原理可以由下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：自然数集是良序的。（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）。

简介

数学归纳法（Mathematical Induction, MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。

数学归纳法解题过程

第一步：验证n取第一个自然数时成立；第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去；最后一步总结表述。

发展历程

已知最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo（1575年）。Maurolico利用递推关系巧妙地证明出前n个奇数的总和是n^2，由此总结出了数学归纳法。

数学归纳法的基本步骤

1、(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

2、(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立。

这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。

扩展资料

没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法．在n＝k到n＝k＋1的证明过程中寻找由n＝k到n＝k＋1的变化规律是难点，突破的关键是分析清楚p(k)与p(k＋1)的差异与联系，

利用拆、添、并、放、缩等手段，从p(k＋1)中分离出p(k)．证明不等式的方法多种多样，故在用数学归纳法证明不等式的过程中，比较法、放缩法、分析法等要灵活运用。

什么是数学归纳法

从严格的数学角度来说，数学归纳法是一个严格的数学定理，注意不是公理。它是可以在集合论的一系列公理下被证明的。证明如下：

数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中：

第一步：验证n取第一个自然数时成立。

第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。

最后一步总结表述。

需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：

证明1：所有的马都是一种颜色。

首先，第一步，这个命题对n=1时成立，即，只有1匹马时，马的颜色只有一种。

第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。那么当我们有n+1匹马时，不妨把它们编好号：

1, 2, 3……n, n+1。

对其中（1、2……n）这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色。

对（2、3……n、n+1）这些马，我们也可以得到它们是一种颜色。

由于这两组中都有（2、3、……n）这些马，所以可以得到，这n+1种马都是同一种颜色。

这个证明的错误来于推理的第二步：当n=1时，n+1=2，此时马的编号只有1、2，那么分的两组是（1）和（2）——它们没有交集，所以第二步的推论是错误的。数学归纳法第二步要求n→n+1过程对n=1，2，3……的数都成立。

而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块和第二块之间间隔太大，推倒了第一块，但它不会推倒第二块。即使我们知道第二块倒下会推倒第三块等等，但这个过程早已在第一和第二块之间就中断了。

合理性

数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。数学归纳法原理可以由下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：

自然数集是良序的。（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）。

比如{1, 2, 3 , 4, 5}这个正整数集合中有最小的数——1。

下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法：

对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于所有的正整数都成立。

对于那些不成立的数所构成的集合S，其中必定有一个最小的元素k。（1是不属于集合S的，所以k》1）。

k已经是集合S中的最小元素了，所以k-1是不属于S，这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立，那么也对k也应该成立，这与我们完成的第二步骤矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。

注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。

以上内容参考 百度百科-数学归纳法